sin2 7 ° + sin2 8 ° + sin2 9 ° + sin2 10 ° + ……… + sin2 83 ° = ?

Solution

sin² 7 ° + sin² 8 ° + sin² 9 ° + sin² 10 ° + ……… + sin² 83 ° = (sin ² 7 ° + sin² 83 °)+(sin² 8 ° + sin² 82 °) + .…. + (sin² 44 ° + sin² 46 °) + sin² 45 ° = (sin² 7 ° + cos² 7 °)+(sin² 8 °+ cos² 8 °) + .…. + (sin² 44 ° + cos² 44 °)+ sin² 45 °  {As sin (90 ° - θ) = cos θ} = (1)+(1) + .…. upto 38 times + sin² 45 ° { As sin² θ + cos² θ= 1} = 38 + sin² 45 °                                  = 38 + (1/√2)²  {As sin 45 ° =1/√2 } = 38 +   = 38.5