Question
Three numbers are in HP. Their sum is 37 and the sum of
their reciprocals is 1/4. The numbers are:Solution
Let the three numbers in Harmonic Progression (HP) be a,b,c. Then their reciprocals 1/a,1/b,1/c are in Arithmetic Progression (AP). This implies 2/b=1/a+1/c. We are given: 1.┬а┬а┬а┬а Sum of the numbers: a+b+c=37 2.┬а┬а┬а┬а Sum of their reciprocals: 1/a+1/b+1/c=1/4 From the property of AP reciprocals, 1/a+1/c=2/b. Substitute this into the second given equation: 2/b+1/b=1/4 3/b=1/4 b=12 Now substitute the value of b into the first given equation: a+12+c=37 a+c=37тИТ12 a+c=25 We also have the relation 2/b=1/a+1/c: 2/12=1/a+1/c 1/6=(a+c)/(ac) Substitute a+c=25: 1/6=25/(ac) ac=25├Ч6 ac=150 Now we have a system of two equations with two variables a and c: a+c=25 ac=150 Consider a quadratic equation with roots a and c: x2тИТ(a+c)x+ac=0 x2тИТ25x+150=0 We can solve this quadratic equation by factoring: (xтИТ10)(xтИТ15)=0 The roots are x=10 and x=15. So, {a,c}={10,15}. The three numbers in HP are a,b,c. Using the values we found, the numbers are 10, 12, 15 or 15, 12, 10.
тАШрд╣рд▓реНрдХрд╛ рдирд╛рд╢реНрддрд╛ рдХрд░рдХреЗ рд╣рдо рд╕рднреА рдорд┐рддреНрд░ рд╣реЛрдЯрд▓ рд╕реЗ рдмрд╛рд╣рд░ рдЖ рдЧрдП
рдпрд╣ рд╡рд╛рдХя┐╜...
рдирд┐рдореНрдирд▓рд┐рдЦрд┐рдд рдкреНрд░рд╢реНрдиреЛрдВ рдореЗрдВ рдЫрд╣ рд╡рд╛рдХреНрдп S1, S6, P, Q, R рдФрд░ S рдХреЗ рд░реВрдк рдореЗрдВ рд╕рдВрдХя┐╜...
рдирд┐тАНрдореНтАНрдирд▓рд┐рдЦрд┐рдд рдореЗрдВ рд╕реЗ рдХреМрди рд╕рд╛ рд╡рд░реНрдг рдЙрдЪреНтАНрдЪрд╛рд░рдг рдХреА рджреГрд╖реНрдЯрд┐ рд╕реЗ рджрдВрддя┐╜...
рддрд┐рд▓рдХ рд▓рдЧрд╛рдиреЗ рдореЗрдВ рдХрд┐рд╕ рдЕрдиреНрди рдХрд╛ рдкреНрд░рдпреЛрдЧ рдЙрдкрдпреБрдХреНрдд рд╣реЛрддрд╛ рд╣реИ ?
рдирд┐рдореНрди рдореЗрдВ рдХреМрди рдПрдХ 'рддреЬрд╛рдЧ┬а ' рдХрд╛ рдкрд░реНрдпрд╛рдпрд╡рд╛рдЪреА рд╢рдмреНрдж рд╣реИ?┬а
рдирд┐рдореНрдирд╛рдВрдХрд┐рдд рдореЗрдВ рд╕реЗ рдХреМрди рд╕рд╛ рд╢рдмреНрдж тАШрдордЫрд▓реАтАШ рдХрд╛ рдкрд░реНрдпрд╛рдп рд╣реИ ?
'рдЪрддреБрд░рд╛рдирди' рдореЗрдВ рд╕рдорд╛рд╕ рд╣реИтАФ
┬а'рд▓рдШреВрд░реНрдорд┐' рдХрд╛ рд╕рдВрдзрд┐-рд╡рд┐рдЪреНрдЫреЗрдж рд╣реЛрдЧрд╛:
'рдЕрд╢реНрд╡рдореЗрдз' рдореЗрдВ рд╕рдорд╛рд╕ рд╣реИ
рдирд┐рдореНрдирд▓рд┐рдЦрд┐рдд рдореЗрдВ рд╕реЗ рд╢реБрджреНрдз рд╡рд░реНрддрдиреА рд╡рд╛рд▓рд╛ рд╢рдмреНрдж рд╣реИ :